Projetando o crescimento do PIB: aplicações de eq. diferenciais

Suponha que você acredite que o Pib apresenta uma relação em termos de crescimento constante com o passado, ou mesmo que ele cresça relativamente a uma taxa constante em relação ao tempo.

Ou seja: dy/dt = b.y.

Analisando melhor essa eq. podemos obter:

(1/y)dy=b.dt

Integrando obtemos: lny=bt+c => y= exp(bt)*a

Como faríamos para estimar essa taxa de crescimento ao longo do tempo, que em termos reais daria a taxa de crescimento médio em tempo contínuo?

Estima-se o valor de b, para dados do PIB brasileiro de 1995 até 2014.2, como valendo 0.9%.

Caso nossa análise fosse discreta faríamos o seguinte:

(y(t+1) -y(t))/y(t) = b  => y(t)=(1+b)^t*y(0), para estimar fazemos uma linearização:

lny = t*ln(1+b) + y0 + e

o valor estimado para ln(1+b) foi de 0.9%, contudo, b=exp(0.9%)-1 = 0.91%.

Ou seja, tanto a abordagem contínua quanto a abordagem discreta promoveram a mesma taxa de crescimento médio para o PIB brasileiro ao longo do período, com uma diferença de 0.1 p.p.

Essa modelagem poderia ser utilizada para entender como a variação do PIB potencialmente pode afletar indicadores importantes como a inflação, desemprego e a taxa de juros da economia.